16137. Медианы
BM
и
CN
треугольника
ABC
пересекаются в точке
G
. Описанные окружности
\Gamma_{1}
и
\Gamma_{2}
треугольников
ANC
и
AMB
вторично пересекаются в точке
P
, а луч
AP
пересекает описанную окружность треугольника
AMN
в точке
T
.
а) Найдите отношение
AT:AP
.
б) Докажите, что
\angle BAG=\angle CAT
.
Ответ. а)
2:3
.
Решение. а) Пусть при инверсии относительно окружности с центром
A
произвольного радиуса
R
точки
C
,
M
,
B
,
N
и
P
переходят в точки
C'
,
M'
,
B'
,
N'
и
P'
соответственно. Поскольку
2AM\cdot AC'=AC\cdot AC'=R^{2}=AM\cdot AM'~\Rightarrow~2AC'=AM',

точка
C'
— середина отрезка
AM'
. Аналогично, точка
B'
— середина отрезка
AN'
.
Прямая
AP
проходит через центр инверсии, поэтому она переходит в себя. Окружность
\Gamma_{2}
переходит в прямую
B'M'
, окружность
\gamma_{1}
— в прямую
C'N'
. Значит, точка
P
пересечения окружностей
\Gamma_{1}
и
\Gamma_{2}
— в точку
P'
, и это точка пересечения прямых
M'B'
и
N'C'
, т. е. точка пересечения медиан треугольника
AM'N'
.
Точка
T
переходит в точку
T'
пересечения
AP'
и
M'N'
, т. е. в середину отрезка
M'N'
. Тогда
AT\cdot AT'=AP\cdot AP'=R^{2}~\Rightarrow~\frac{AT}{AP}=\frac{AP'}{AT'}=\frac{2}{3}.

б) Из подобия треугольников
ABC
,
ANM
и
AM'N'
получаем
\angle CAT=\angle C'AT'=\angle M'AP'=\angle BAG.

Что и требовалось доказать.

Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1999, № 4, задача 2349 (1998, с. 236), с. 255