16141. Точка Z
лежит на стороне PQ
параллелограмма PQRS
, причём PZ:ZQ=k:l
. Прямая, проходящая через точку Z
параллельно PS
, пересекает диагональ SQ
в точке X
. Прямые ZR
и SQ
пересекаются в точке Y
. Найдите отношение XY:SQ
.
Ответ. \frac{l^{2}}{(k+l)(k+2l)}
.
Решение. Поскольку
\frac{SX}{SQ}=\frac{PZ}{PQ}=\frac{k}{k+l},
то
\frac{SX}{XY}=\frac{SX}{SQ}\cdot\frac{SQ}{XY}=\frac{PZ}{PQ}\cdot\frac{SQ}{XY}=\frac{k}{k+l}\cdot\frac{SQ}{XY}.
Из подобия треугольников XYZ
и QYR
, а также треугольников SPQ
и XZQ
получаем
\frac{YQ}{XY}=\frac{QR}{XZ}=\frac{PS}{XZ}=\frac{PQ}{ZQ}=\frac{k+l}{l}.
Значит,
\frac{SQ}{XY}=\frac{SX+XY+YQ}{XY}=\frac{SX}{XY}+1+\frac{YQ}{XY}=\frac{k}{k+l}\cdot\frac{SQ}{XY}+1+\frac{k+l}{l},
откуда
\frac{l}{k+l}\cdot\frac{SQ}{XY}=\frac{k+2l}{l}.
Следовательно,
\frac{XY}{SQ}=\frac{l^{2}}{(k+l)(k+2l)}.