16143. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
, а лучи AP
, BP
и CP
пересекают стороны BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Докажите, что S_{\triangle ABC}\cdot S_{\triangle DPE}=S_{\triangle APB}\cdot S_{\triangle CDE}
.
Решение. Высоты треугольников DPE
и DEA
, проведённые из общей вершины E
, совпадают, поэтому
\frac{PD}{AD}=\frac{S_{\triangle DPE}}{S_{\triangle DEA}}.
Аналогично,
\frac{AE}{CE}=\frac{S_{\triangle DEA}}{S_{\triangle CDE}}.
Тогда
\frac{S_{\triangle DPE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{S_{\triangle DPE}}{S_{\triangle DEA}}\cdot\frac{S_{\triangle DEA}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{PD}{AD}\cdot\frac{AE}{CE}.
С другой стороны,
\frac{PD}{AD}=\frac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle ABC}}~\mbox{и}~\frac{AE}{CE}=\frac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle PBC}}.
Значит,
\frac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle PBC}}\cdot\frac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AE}{CE}\cdot\frac{PD}{AD},
поэтому
\frac{S_{\triangle DPE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle CDE}}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}\cdot S_{\triangle DPE}=S_{\triangle APB}\cdot S_{\triangle CDE}.