16145. Дан треугольник ABC
с тупым углом при вершине C
. Точка M
— середина стороны BC
. Окружность с центром A
и радиусом AM
вторично пересекает прямую BC
в точке D
, и MD=AB
. Окружность с центром M
и радиусом MB
вторично пересекает прямую AB
в точке E
. Точка H
— проекция вершины A
на прямую BC
. Отрезки AC
и EH
пересекаются в точке I
. Найдите углы IAH
и AHI
, если известно, что \angle ABC=\beta
.
Ответ. \frac{\beta}{2}
и \frac{3\beta}{2}
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что AB=DM=2
. Тогда
CM=BM=BH-MH=AB\cos\beta-\frac{1}{2}DM=2\cos\beta-1,
BC=2BM=4\cos\beta-2.
Из прямоугольного треугольника AHC
получаем
\tg\angle IAH=\tg\angle CAH=\frac{CH}{AH}=\frac{MH-CM}{AB\sin\beta}=\frac{1-(2\cos\beta-1)}{2\sin\beta}=
=\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}=\tg\frac{\beta}{2}.
Следовательно, \angle IAH=\frac{\beta}{2}
.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACB=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}~\Rightarrow~\angle BAC=\angle ACH-\angle ABH=
=\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)-\beta=90^{\circ}-\frac{3\beta}{2}.
Точка E
лежит на окружности с диаметром BC
, поэтому
\angle AEC=\angle BEC=90^{\circ}=\angle AHC.
Значит, точки E
и H
лежат на окружности с диаметром AC
. Следовательно,
\angle AHI=\angle AHE=\angle ACE=90^{\circ}-\angle BAC=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{3\beta}{2}\right)=\frac{3\beta}{2}.