16149. Угол при вершине B
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Точка P
лежит на стороне, причём \angle CBP=\angle BAC
. Точка Q
лежит на отрезке BP
, причём BQ=BC
. Докажите, что точка Q
лежит на высоте треугольника ABC
, проведённой из вершины A
, тогда и только тогда, когда \angle BAC=40^{\circ}
.
Решение. Пусть AS
— высота треугольника ABC
. Докажем, что прямая AS
проходит через точку Q
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
и продолжим отрезок CQ
до пересечения со стороной AB
в точке R
. Тогда
\angle BAS=30^{\circ},~\angle SAC=\alpha-30^{\circ},~\angle ABP=60^{\circ}-\alpha,~\angle BCR=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Значит,
\frac{BS}{SC}=\frac{S_{\triangle ABS}}{S_{\triangle ACS}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AS\sin30^{\circ}}{\frac{1}{2}AC\cdot AS\sin(\alpha-30^{\circ})}=\frac{AB\sin30^{\circ}}{AC\sin(\alpha-30^{\circ})}.
Аналогично,
\frac{CP}{PA}=\frac{BC\sin\alpha}{AB\sin(60^{\circ}-\alpha)},~\frac{AR}{RB}=\frac{AC\sin\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}{BC\cos\frac{\alpha}{2}}.
По теореме Чевы прямые AS
, BP
и CR
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
\frac{BS}{SC}\cdot\frac{CP}{PA}\cdot\frac{AR}{RB}=1~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{AB\sin30^{\circ}}{AC\sin(\alpha-30^{\circ})}\cdot\frac{BC\sin\alpha}{AB\sin(60^{\circ}-\alpha)}\cdot\frac{AC\sin\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}{BC\cos\frac{\alpha}{2}}=1~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin30^{\circ}\sin\alpha\sin\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\sin(\alpha-30^{\circ})\sin(60^{\circ}-\alpha)\cos\frac{\alpha}{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}\cdot2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\sin\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\sin(\alpha-30^{\circ})\sin(60^{\circ}-\alpha)\cos\frac{\alpha}{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\sin(\alpha-30^{\circ})\cdot2\sin\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin\frac{\alpha}{2}=\sin(\alpha-30^{\circ})\cdot2\cos\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin\frac{\alpha}{2}=\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\left(\frac{3\alpha}{2}-60^{\circ}\right)~\Leftrightarrow~\sin\left(\frac{3\alpha}{2}-60^{\circ}\right)=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{3\alpha}{2}-60^{\circ}=0^{\circ}~\mbox{или}~\frac{3\alpha}{2}-60^{\circ}=0^{\circ}~\Leftrightarrow~\alpha=40^{\circ}~\mbox{или}~\alpha=160^{\circ}.
Второй случай, очевидно, невозможен.
Таким образом, прямая AS
проходит через точку Q
тогда и только тогда, когда \angle BAC=40^{\circ}
. Что и требовалось доказать.