16150. Квадрат S_{a}
вписан в остроугольный треугольник ABC
так, что две его вершины лежат на стороне BC
, две другие — на сторонах AB
и AC
соответственно. Аналогично определяются квадраты S_{b}
и S_{c}
. Найдите все треугольники, для которых квадраты S_{a}
, S_{b}
и S_{c}
равны.
Ответ. Равносторонние треугольники.
Решение. Очевидно, любой равносторонний треугольник удовлетворяет условию задачи. Докажем, что других таких треугольников нет.
Обозначим через T
— площадь данного треугольника ABC
со сторонами AB=c
, AC=b
, BC=a
, через q
— сторону квадрата, через h_{c}
, h_{b}
и h_{a}
— высоты треугольника, проведённые из вершин C
, B
и A
соответственно. Тогда
T=q^{2}+\frac{1}{2}q(h_{c}-q)+\frac{1}{2}q(c-q)=\frac{1}{2}q(h_{c}+c).
Аналогично,
T=\frac{1}{2}q(h_{a}+a)=\frac{1}{2}q(h_{b}+b),
поэтому
h_{a}+a=h_{b}+b.
Из этого равенства и равенства
2T=ah_{a}=bh_{b}
получаем
bh_{b}+a^{2}=ah_{a}+a^{2}=ah_{b}+ab,
откуда
(a-h_{b})(a-b)=0,
а так как h_{b}\lt a
, то a=b
. Аналогично, b=c
. Следовательно, треугольник ABC
равносторонний. Что и требовалось доказать.
Источник: Немецкие математические олимпиады. — 1997
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 5, задача 3, с. 289