16151. Дан выпуклый четырёхугольник, в котором AB=BC=CD
, а диагонали AC
и BD
пересекаются в точке P
. Докажите, что если AP:BD=DP:AC
, то либо BC\parallel AD
, либо AB\perp CD
.
Решение. Обозначим AB=BC=CD=x
, \angle BAC=\angle BCA=\alpha
и \angle CDB=\angle CBD=\beta
. Тогда
\angle APB=\angle DPC=\alpha+\beta,~
\angle ABP=\angle180^{\circ}-2\alpha-\beta,~\angle DCP=\angle180^{\circ}-2\beta-\alpha.
Из равнобедренных треугольников BAC
и CBD
получаем
AC=2x\cos\alpha,~BD=2x\cos\beta,
а по теореме синусов из треугольников ABP
и DCP
—
AP=\frac{x\sin(2\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta)},~DP=\frac{x\sin(2\beta+\alpha)}{\sin(\alpha+\beta)}.
Тогда
\frac{AP}{BD}=\frac{DP}{AC}~\Leftrightarrow~\frac{\sin(2\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta)\cos\beta}=\frac{\sin(2\beta+\alpha)}{\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin(2\alpha+\beta)\cos\alpha=\sin(2\beta+\alpha)\cos\beta~\Leftrightarrow~\sin(3\alpha+\beta)=\sin(3\beta+\alpha).
Значит, возможны два случая.
1) 3\alpha+\beta=3\beta+\alpha
, и тогда \alpha=\beta
, ABCD
— вписанный четырёхугольник, а так как AB=CD
, то BC\parallel AD
.
2) (3\alpha+\beta)+(3\beta+\alpha)=180^{\circ}
, и тогда \alpha+\beta=45^{\circ}
. Если прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
, то
\angle CBE+\angle BAC=2\alpha,
поэтому
\angle BEC=180^{\circ}-2\alpha-2\beta=90^{\circ}.
Следовательно, AB\perp CD
.