16152. В равнобедренном треугольнике ABC
углом 30^{\circ}
при основании AB
отметили на основании точки M
и N
, причём точка M
лежит между A
и N
, а AM=1
и NB=2
. Оказалось, что \angle MCN=60^{\circ}
. Найдите MN
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle ACM=\alpha
. Тогда
\angle BCN=\angle ACB-\angle ACM-\angle MCN=120^{\circ}-\alpha-60^{\circ}=60^{\circ}-\alpha.
Пусть P
— точка, симметричная точке A
относительно прямой CM
. Тогда
\angle PCN=\angle MCN-\angle MCP=60^{\circ}-\alpha=\angle BCN.
Значит, точка P
симметрична точке B
относительно прямой CN
, и поэтому
PM=AM=1,~PN=BN=2,
\angle MPN=\angle MPC+\angle NPC=\angle MAC+\angle NBC=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}.
Значит (см. задачу 2643), \angle PMN=90^{\circ}
. Следовательно, по теореме Пифагора
MN=\sqrt{PN^{2}-PM^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}.
Второй способ. Обозначим \angle MAN=\alpha
, \angle BCN=\beta
, CM=x
, CN=y
. Тогда
\alpha+\beta=\angle ACB-\angle MCN=120^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}.
Пусть CH
— высота треугольника ABC
, M'
и N'
— основания перпендикуляров, опущенных из H
на стороны AC
и BC
соответственно, а MH=u
и NH=t
. Тогда CH
— биссектриса угла ACB
, H
— середина основания AB
, а
MM'=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2},~NN'=\frac{1}{2}BN=1.
Значит,
1+u=t+2~\Rightarrow~u=t+1.
Поскольку
\angle MCH=\angle ACH-\angle ACM=60^{\circ}-\alpha=\beta
и аналогично \angle NCH=\alpha
, то прямоугольные треугольники CN'N
и CHM
подобны, причём коэффициент подобия равен \frac{NN'}{HM}=\frac{1}{u}
. Аналогично, прямоугольные треугольники CM'M
и CHN
подобны с коэффициентом \frac{MM'}{NH}=\frac{1}{2t}
. Значит,
\frac{y}{x}=2t~\mbox{и}~\frac{y}{x}=\frac{1}{u}.
Разделив первое из этих равенств на второе, получим 1=2ut
. Тогда из системы
\syst{u=t+1\\2ut=1\\}
находим, что t=\frac{\sqrt{3}-1}{2}
и u=\frac{\sqrt{3}+1}{2}
. Следовательно,
MN=u+v=\frac{\sqrt{3}+1}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\sqrt{3}.