16153. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
, причём \angle PBC=\angle PCA\lt\angle PAB
. Прямая BP
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точках B
и E
. Описанная окружность треугольника APE
пересекает прямую CE
в точках E
и F
. Докажите, что точки A
, P
, E
и F
— последовательные вершины четырёхугольника. Докажите также, что отношение площадей четырёхугольника APEF
и треугольника ABP
не зависит от выбора точки P
.
Решение. Поскольку
\angle PFC=\angle PAE=\angle PAC+\angle EAC=\angle PAC+\angle CBE=\angle PAC+\angle PBC\lt
\lt\angle PAC+\angle PAB=\angle BAC=\angle BEC=\angle PEC,
точка F
лежит на продолжении отрезка CE
за точку E
. Значит, A
, P
, E
и F
— последовательные вершины четырёхугольника. Отсюда следует первое утверждение задачи.
Поскольку
\angle EAC=\angle EBC=\angle PBC=\angle PCA,
прямые PC
и AE
параллельны. Тогда
S_{APEF}=S_{\triangle APE}+S_{\triangle AEF}=S_{\triangle ACE}+S_{\triangle AEF}=S_{\triangle ACF}.
Кроме того,
\angle ACF=\angle ACE=\angle ABE=\angle APB,
\angle AFC=\angle AFE=\angle APB,
поэтому треугольники ACF
и ABP
подобны по двум углам. Значит,
\frac{S_{APEF}}{S_{\triangle ABP}}=\frac{S_{\triangle ACF}}{S_{\triangle ABP}}=\frac{AC^{2}}{AB^{2}}.
Отсюда следует второе утверждение задачи.
Источник: Польские математические олимпиады. — 1999
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 1, задача 2, с. 11