16154. Квадрат ABCD
вписан в окружность радиуса 1. Прямая, проходящая через точку P
, лежащую на прямой AB
, касается окружности в точке C
. Найдите PD
.
Ответ. \sqrt{10}
.
Решение. Ясно, что точка P
на прямой AB
расположена так, что вершина B
лежит между A
и P
, а сторона квадрата равна \sqrt{2}
. Из теоремы об угле между касательной и хордой
\angle BCP=\angle BAC=45^{\circ},
поэтому прямоугольный треугольник CBP
равнобедренный, BP=BC=\sqrt{2}
. Тогда
AP=AB+BP=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
Следовательно, по теореме Пифагора
DP=\sqrt{AP^{2}+AD^{2}}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 1, задача 2, с. 31