16157. Углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Найдите наименьшую и наибольшую границы произведения \cos(\alpha-\beta)\cos(\beta-\gamma)\cos(\alpha-\gamma)
.
Ответ. -\frac{1}{8}
и 1.
Решение. Докажем, что
-\frac{1}{8}\leqslant\cos(\alpha-\beta)\cos(\beta-\gamma)\cos(\alpha-\gamma)\leqslant1.
Действительно,
\cos(\alpha-\beta)\cos(\beta-\gamma)\cos(\alpha-\gamma)\leqslant|\cos(\alpha-\beta)\cos(\beta-\gamma)\cos(\alpha-\gamma)|=
=|\cos(\alpha-\beta)||\cos(\beta-\gamma)||\cos(\alpha-\gamma)|\leqslant1,
а с другой стороны,
\cos(\alpha-\beta)\cos(\beta-\gamma)\cos(\alpha-\gamma)=
=\frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta-2\gamma))\cos(\alpha-\beta)=
=\frac{1}{2}(\cos^{2}(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta-2\gamma)\cos(\alpha-\beta))=
=\frac{1}{2}\left(\cos^{2}(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta-2\gamma)\cos(\alpha-\beta)+\frac{1}{4}\cos^{2}(\alpha+\beta-2\gamma)\right)-
6\frac{1}{8}\cos^{2}(\alpha+\beta-2\gamma)=
=\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha-\beta)+\frac{1}{2}\cos(\alpha+\beta-2\gamma)\right)^{2}-\frac{1}{8}\cos^{2}(\alpha+\beta-2\gamma)\geqslant
\geqslant-\frac{1}{8}\cos^{2}(\alpha+\beta-2\gamma)\geqslant-\frac{1}{8}.
Первое из доказанных неравенств достигается для равностороннего треугольника.
Второе из доказанных неравенств не может достигаться, так как в этом случае из равенств
\alpha+\beta-2\gamma=0^{\circ},~\cos(\alpha-\beta)=-\frac{1}{2}\cos(\alpha+\beta-2\gamma)~\mbox{и}~\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
следует, что \gamma=60^{\circ}
, \beta=0^{\circ}
и \alpha=120^{\circ}
. Значит, такой треугольник не существует.