16159. Точки D
, E
и F
— середины сторон соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, P
— произвольная точка плоскости этого треугольника. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через точки D
, E
и F
параллельно соответственно AP
, BP
и CP
, пересекаются в некоторой точке (обозначим её через Q
);
б) если точки X
, Y
и Z
симметричны точке P
относительно D
, E
и F
соответственно, то прямые AX
, BY
и CZ
пересекаются в точке Q
.
Решение. б) Диагонали PX
и BC
четырёхугольника PBXC
точкой пересечения D
делятся пополам, поэтому PBXC
— параллелограмм. Аналогично, ABXY
— параллелограмм. Тогда
BX=PC=AY~\mbox{и}~BX\parallel PC\parallel AY,
значит, ABXY
— тоже параллелограмм, и его диагональ BY
проходит через середину Q
диагонали AX
. Аналогично, прямая CZ
проходит через точку Q
. Отсюда следует утверждение б).
а) Отрезок DQ
— средняя линия треугольника APX
, поэтому QD\parallel AP
. Аналогично, EQ\parallel BP
и FQ\parallel CP
. Отсюда следует утверждение а).