1616. В треугольнике ABC
на стороне AC
взята точка D
, причём AD=3
, косинус угла BDC
равен \frac{13}{20}
, а сумма углов ABC
и ADB
равна 180^{\circ}
. Найдите периметр треугольника ABC
, если BC=2
.
Ответ. 11.
Указание. Треугольники ABC
и BDC
подобны.
Решение. Поскольку \angle ABC=180^{\circ}-\angle ADB=\angle BDC
, то треугольники ABC
и BDC
подобны по двум углам. Поэтому
\frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC},~\mbox{или}~\frac{2}{3+DC}=\frac{1}{2}DC.
Отсюда находим, что DC=1
.
Для нахождения AB
применим теорему косинусов к треугольнику ABC
:
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\angle ABC,~\mbox{или}~
16=AB^{2}+4-2\cdot2\cdot AB\cdot\frac{13}{20}.
Отсюда находим, что AB=5
. Следовательно, периметр треугольника ABC
равен
AC+BC+AB=4+2+5=11.