16167. Для любого треугольника с углами, равными \alpha
, \beta
и \gamma
найдите сумму
\frac{\cos\alpha+\cos\beta}{1+\cos\alpha+\cos\beta-\cos\gamma}+\frac{\cos\alpha+\cos\gamma}{1+\cos\alpha+\cos\gamma-\cos\beta}+\frac{\cos\beta+\cos\gamma}{1+\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha}.
Ответ. 2.
Решение. Заметим, что
\frac{\cos\alpha+\cos\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}=\frac{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}=\ctg\frac{\alpha+\beta}{2}=\tg\frac{\gamma}{2},
откуда
\cos\alpha+\cos\beta=(\sin\alpha+\sin\beta)\tg\frac{\gamma}{2}.
В то же время,
1-\cos\gamma=2\sin^{2}\frac{\gamma}{2}=\frac{2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}=\sin\gamma\tg\frac{\gamma}{2}.
Значит,
\frac{\cos\alpha+\cos\beta}{1+\cos\alpha+\cos\beta-\cos\gamma}=\frac{(\sin\alpha+\sin\beta)\tg\frac{\gamma}{2}}{(\sin\alpha+\sin\beta)\tg\frac{\gamma}{2}+\sin\gamma\tg\frac{\gamma}{2}}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}.
Аналогично,
\frac{\cos\alpha+\cos\gamma}{1+\cos\alpha+\cos\gamma-\cos\beta}=\frac{\sin\alpha+\sin\gamma}{\sin\alpha+\sin\gamma+\sin\beta},
\frac{\cos\beta+\cos\gamma}{1+\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha}=\frac{\sin\beta+\sin\gamma}{\sin\beta+\sin\gamma+\sin\alpha}.
Сложив эти три равенства, получим
\frac{\cos\alpha+\cos\beta}{1+\cos\alpha+\cos\beta-\cos\gamma}+\frac{\cos\alpha+\cos\gamma}{1+\cos\alpha+\cos\gamma-\cos\beta}+\frac{\cos\beta+\cos\gamma}{1+\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha}=
=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}+\frac{\sin\alpha+\sin\gamma}{\sin\alpha+\sin\gamma+\sin\beta}+\frac{\sin\beta+\sin\gamma}{\sin\beta+\sin\gamma+\sin\alpha}=
=\frac{2\sin\alpha+2\sin\beta+2\sin\gamma}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}=2.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 5, задача 2544 (2000, с. 237), с. 341