16171. Окружность, построенная на высоте AD
равностороннего треугольника ABC
как на диаметре, пересекает стороны AB
и AC
в точках E
и F
соответственно. Найдите отношение \frac{EF}{BC}
.
Ответ. \frac{3}{4}
.
Решение. Обозначим BC=a
. Пусть высота AD
пересекает отрезок EF
в точке G
. Точки E
и F
лежат на окружности с диаметром AD
, поэтому
\angle AED=\angle AFD=90^{\circ},
а так как AD
— биссектриса (и медиана) треугольника BAC
, то прямоугольные треугольники AED
и AFD
равны по гипотенузе и острому углу. Значит AE=AF
, поэтому EF\parallel BC
, а прямоугольные треугольники AEG
и ABD
подобны.
Обозначим AE=AF=x
. По теореме о касательной и секущей
BD^{2}=AB\cdot BE=AB(AB-AE),~\mbox{или}~\frac{a^{2}}{4}=a(a-x),
откуда x=\frac{3}{4}a
. Следовательно,
\frac{EF}{BC}=\frac{EG}{BD}=\frac{AE}{AB}=\frac{x}{a}=\frac{\frac{3}{4}a}{a}=\frac{3}{4}.
Источник: Канадские математические олимпиады. — 2001
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 6, задача 3, с. 354