16172. К непересекающимся окружностям \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно проведена общая внешняя касательная AB
(A
и B
— точки касания, лежащие на \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
соответственно). Отрезок O_{1}O_{2}
пересекает \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в точках C
и D
соответственно. Докажите, что
а) точки A
, B
, C
и D
лежат на одной окружности;
б) прямые AC
и BD
перпендикулярны.
Решение. а) Обозначим через \alpha
и \beta
углы при основаниях AC
и BD
равнобедренных треугольников AO_{1}B
и BO_{2}D
соответственно. Сумма углов четырёхугольника ABDC
равна 360^{\circ}
, т. е.
(90^{\circ}-\alpha)+(90^{\circ}-\beta)+(180^{\circ}-\beta)+(180^{\circ}-\alpha)=360^{\circ},
откуда
\alpha+\beta=90^{\circ}.
Тогда
\angle BAC+\angle BDC=(90^{\circ}-\alpha)+(180^{\circ}-\beta)=270^{\circ}-(\alpha+\beta)=270^{\circ}-90^{\circ}=180^{\circ}.
Значит, ABDC
— вписанный четырёхугольник. Отсюда следует утверждение пункта а).
б) Пусть прямые AC
и BD
пересекаются в точке E
. Из треугольника ABE
получаем
\angle BAE=180^{\circ}-\angle BAE-\angle ABE=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-(90^{\circ}-\beta)=\alpha+\beta=90^{\circ}.
Отсюда следует утверждение пункта б).
Источник: Молдавские математические олимпиады. — 1996
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 6, задача 3, с. 365