16176. На стороне BC
треугольника ABC
отметили точки P
и Q
. Оказалось, что лучи AP
и AQ
разбивают угол BAC
на три равных угла, Q
— середина BC
, а AC=AQ\sqrt{2}
. Найдите угол BAC
.
Ответ. 45^{\circ}
или 3\arcsin\frac{\sqrt{3-\sqrt{2}}}{2}
.
Решение. Рассмотрим случай, когда точки B
, P
, Q
и C
расположены в указанном порядке.
Пусть углы треугольника ABC
при вершинах A
и B
равны \alpha
и \beta
соответственно, а противолежащие им стороны равны a
и b
соответственно. Тогда
AQ=\frac{b\sqrt{2}}{2},~BQ=QC=\frac{a}{2}.
Пусть \theta=\frac{\alpha}{3}
. По теореме синусов из треугольников ABQ
и ABC
получаем
\frac{a}{2\sin2\theta}=\frac{b\sqrt{2}}{2\sin\beta}~\mbox{и}~\frac{a}{\sin3\theta}=\frac{b}{\sin\beta}.
Разделив первое из эти равенств на второе, получим \frac{\sin3\theta}{\sin2\theta}=\sqrt{2}
.
Применив известные формулы тригонометрии
\sin3\theta=\sin\theta(3-4\sin^{2}\theta)=\sin\theta(4\cos^{2}\theta-1),~\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta,
после очевидных упрощений получим уравнение
4\cos^{2}\theta-2\sqrt{2}\cos\theta-1=0,
из которого, отбросив отрицательный корень, находим, что
\cos\theta=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.
Следовательно,
\theta=15^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=3\theta=45^{\circ}.
Если же порядок точек — B
, Q
, P
, C
, то аналогично получим \frac{\sin3\theta}{\sin\theta}=\sqrt{2}
, что приводит к уравнению 4\sin^{2}\theta=3-\sqrt{2}
. Следовательно,
\alpha=3\theta=3\arcsin\frac{\sqrt{3-\sqrt{2}}}{2}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 6, задача 2567 (2000, с. 373), с. 414