1618. В треугольнике ABC
сторона AC
равна b
, сторона AB
равна c
, а биссектриса внутреннего угла A
пересекается со стороной BC
в точке D
, такой, что DA=DB
. Найдите длину стороны BC
.
Ответ. \sqrt{b(b+c)}
.
Указание. Треугольники ADC
и BAC
подобны. Отношение суммы сторон AD
и DC
, заключающих угол ADC
треугольника ADC
, к сумме сторон AC
и AB
, заключающих угол BAC
треугольника ABC
, равно коэффициенту подобия.
Решение. Поскольку треугольник ADB
равнобедренный, то \angle ABC=\angle BAD=\angle DAC
. Следовательно, треугольники ADC
и BAC
подобны (по двум углам). Поэтому отношение суммы сторон AD
и DC
, заключающих угол ADC
треугольника ADC
, к сумме сторон AC
и AB
, заключающих угол BAC
треугольника ABC
, равно коэффициенту подобия, т. е. отношению сторон AC
и BC
. Поскольку AD=DB
и BC=BD+DC
, то
\frac{AD+DC}{AC+AB}=\frac{BD+DC}{AC+AB}=\frac{BC}{AC+AB}=\frac{BC}{b+c}=\frac{b}{BC}.
Отсюда находим, что
BC^{2}=b(b+c).