16182. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
. Лучи AP
, BP
и CP
пересекают стороны BC
, CA
и AB
в точках L
, M
и N
соответственно. Докажите, что
\frac{1}{AP}+\frac{1}{PL}=\frac{1}{BP}+\frac{1}{PM}=\frac{1}{CP}+\frac{1}{PN}
тогда и только тогда, когда
\angle APN=\angle NPB=\angle BPL=\angle LPC=\angle CPM=\angle MPA=60^{\circ}.
Решение. Обозначим
\angle BPN=\angle CPM=\alpha,~\angle CPL=\angle APN=\beta,~\angle APM=\angle BPL=\gamma.
Тогда
\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}.
Далее получаем
S_{\triangle PBC}=S_{\triangle PBL}+S_{\triangle PCL}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{1}{2}PB\cdot PC\sin(\beta+\gamma)=\frac{1}{2}PB\cdot PL\sin\gamma+\frac{1}{2}PC\cdot PL\sin\beta~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{\sin(\beta+\gamma)}{PL}=\frac{\sin\gamma}{PC}+\frac{\sin\beta}{PB}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{\sin\alpha}{AP}+\frac{\sin(\beta+\gamma)}{PL}=\frac{\sin\alpha}{AP}+\frac{\sin\beta}{BP}+\frac{\sin\gamma}{CP}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{\sin\alpha}{AP}+\frac{\sin\alpha}{PL}=\frac{\sin\alpha}{AP}+\frac{\sin\beta}{BP}+\frac{\sin\gamma}{CP}~\Rightarrow
\Rightarrow~\left(\frac{1}{AP}+\frac{1}{PL}\right)\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{AP}+\frac{\sin\beta}{BP}+\frac{\sin\gamma}{CP}.
Аналогично,
\left(\frac{1}{BP}+\frac{1}{PM}\right)\sin\beta=\frac{\sin\alpha}{AP}+\frac{\sin\beta}{BP}+\frac{\sin\gamma}{CP},
\left(\frac{1}{CP}+\frac{1}{PN}\right)\sin\gamma=\frac{\sin\alpha}{AP}+\frac{\sin\beta}{BP}+\frac{\sin\gamma}{CP}.
Значит,
\left(\frac{1}{AP}+\frac{1}{PL}\right)\sin\alpha=\left(\frac{1}{BP}+\frac{1}{PM}\right)\sin\beta=\left(\frac{1}{CP}+\frac{1}{PN}\right)\sin\gamma.
Следовательно,
\frac{1}{AP}+\frac{1}{PL}=\frac{1}{BP}+\frac{1}{PM}=\frac{1}{CP}+\frac{1}{PN}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\alpha=\sin\beta=\sin\gamma~\Leftrightarrow~\alpha=\beta=\gamma~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\angle APN=\angle NPB=\angle BPL=\angle LPC=\angle CPM=\angle MPA=60^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 8, задача 2599 (2000, с. 499), с. 561