1619. В прямоугольной трапеции ABCD
углы A
и D
— прямые, сторона AB
параллельна стороне CD
; AB=1
, CD=4
, AD=5
. На стороне AD
взята точка M
, причём угол CMD
вдвое больше угла BMA
. В каком отношении точка M
делит сторону AD
?
Ответ. 2:3
.
Указание. Составьте уравнение относительно угла BMA
.
Решение. Обозначим \angle BMA=\alpha
. Тогда \angle CMD=2\alpha
. Из прямоугольных треугольников BMA
и CMD
находим, что
AM=\frac{AB}{\tg\alpha}=\frac{1}{\tg\alpha},
MD=\frac{CD}{\tg2\alpha}=\frac{4}{\tg2\alpha}=\frac{2(1-\tg^{2}\alpha)}{\tg\alpha}.
Поскольку AM+MD=AD
, то
\frac{1}{\tg\alpha}+\frac{2(1-\tg^{2}\alpha)}{\tg\alpha}=5,~\mbox{или}~2\tg^{2}\alpha+5\tg\alpha-3=0.
Их этого уравнения находим, что \tg\alpha=\frac{1}{2}
. Следовательно, AM=2
, MD=3
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1968, вариант 3, № 4
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — вариант 3, № 4, с. 326