16194. Дан треугольник ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
. На продолжении стороны AC
за точку C
отмечена точка E
и построен параллелограмм CEDB
; на продолжении стороны CB
за точку B
отмечена точка J
и построен параллелограмм BAIJ
; на продолжении стороны BA
за точку A
отмечена точка G
и построен параллелограмм ACFG
. Докажите, что прямые AD
, BF
и CI
пересекаются в одной точке, если:
а) AI=\sqrt{ca}
, BD=\sqrt{ab}
, CF=\sqrt{bc}
;
б) CEDB
, BAIJ
и ACFG
— ромбы.
Решение. Пусть CE=a'
, AG=b'
и BJ=c'
. Докажем, что прямые AD
, BF
и CI
пересекаются в одной точке, если a'b'c'=abc
. Отсюда будут следовать оба утверждения задачи.
Пусть X
— точка пересечения BC
и AD
, Y
— точка пересечения CA
и BF
, Z
— точка пересечения AB
и CI
. Из подобия треугольников BXD
и CXA
получаем
\frac{BX}{XC}=\frac{BD}{AC}=\frac{a'}{b}.
Аналогично,
\frac{CY}{YA}=\frac{b'}{c}~\mbox{и}~\frac{AZ}{ZB}=\frac{c'}{a}.
Перемножив эти три равенства, получим
\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=\frac{a'}{b}\cdot\frac{b'}{c}\cdot\frac{c'}{a}=\frac{a'b'c'}{abc}.
Следовательно, по теореме Чевы из равенства \frac{a'b'c'}{abc}=1
(т. е. a'b'c'=abc
) следует, что прямые AD
, BF
и CI
пересекаются в одной точке.
В условии пункта а)
AI=c'=\sqrt{ca},~BD=a'=\sqrt{ab},~CF=b'=\sqrt{bc},
поэтому
a'b'c'=\sqrt{ab}\cdot\sqrt{bc}\cdot\sqrt{ca}=abc.
В условии пункта б)
AI=c'=c,~BD=a'=a,~CF=b'=b,
поэтому
a'b'c'=abc.
Следовательно, верны оба утверждения задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 7, задачи 2680 и 2681, с. 476