16195. Стороны треугольника равны a
, b
и c
, а противолежащие им углы равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Докажите, что
a(a^{2}-b^{2})\sin\beta+b(b^{2}-c^{2})\sin\gamma+c(c^{2}-a^{2})\sin\alpha=0
тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Решение. Необходимость очевидна.
Пусть
a(a^{2}-b^{2})\sin\beta+b(b^{2}-c^{2})\sin\gamma+c(c^{2}-a^{2})\sin\alpha=0.
По теореме синусов
\sin\beta=\frac{b}{2R},~\sin\gamma=\frac{c}{2R},~\sin\alpha=\frac{a}{2R},
где R
— радиус описанной окружности треугольника. Тогда
a(a^{2}-b^{2})\sin\beta+b(b^{2}-c^{2})\sin\gamma+c(c^{2}-a^{2})\sin\alpha=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ac(c^{2}-a^{2})=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{3}b-b^{3}a+b^{3}c-c^{3}b+c^{3}a-a^{3}c=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{3}b-a^{3}c-b^{3}a+c^{3}a+b^{3}c-c^{3}b=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{3}(b-c)-(b^{3}-c^{3})a+bc(b^{2}-c^{2})=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(b-c)(a^{3}-(b^{2}+bc+c^{2})a+bc(b+c))=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(b-c)(a-b)(a^{2}+ab-bc-c^{2})=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(b-c)(a-b)(a^{2}-c^{2}+b(a-c))=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)=0.
Если b=c
, то
ab(a^{2}-b^{2})+ab(b^{2}-a^{2})=0~\Rightarrow~a^{2}-b^{2}=0~\Rightarrow~a=b=c.
Остальное аналогично.
Отсюда получаем, что треугольник равносторонний. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 8, задача 2678 (2001, с. 460), с. 538