16196. Дан треугольник ABC
, в котором AB=AC=5
и BC=6
. Точка D
лежит на стороне AC
, точка P
лежит на отрезке BD
, причём \angle APC=90^{\circ}
, а \angle ABP=\angle BCP
. Найдите отношение AD:DC
.
Ответ. 1:2
.
Решение. Обозначим
\angle ABP=\angle BCP=\alpha,~\angle ACP=\beta,~\angle ACB=\gamma.
Пусть AM
— высота треугольника ABC
. Тогда
BM=CM=3,~AM=\sqrt{25-9}=4,~\sin\gamma=\frac{4}{5},~\cos\gamma=\frac{3}{5}.
Из точек P
и M
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Тогда
\angle MAP=\angle MCP=\angle BCP=\alpha,~\angle AMP=\angle ACP=\beta,
а так как
\angle CBP=\gamma-\alpha=\beta=\angle AMP,
то треугольники MPA
и BPC
подобны по двум углам. Значит,
\ctg\beta=\frac{CP}{AP}=\frac{BC}{MA}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Первый способ. Пусть T
— точка пересечения AM
и BD
. Тогда из прямоугольного треугольника BMT
получаем
MT=BM\tg\angle HBM=3\tg\beta=3\cdot\frac{2}{3}=2=\frac{1}{2}AM.
Следовательно, M
— середина высоты AM
. По теореме Менелая для треугольника AMC
и прямой BD
получаем
1=\frac{AD}{DC}\cdot\frac{CB}{BM}\cdot\frac{MT}{TA}=\frac{AD}{DC}\cdot\frac{6}{3}\cdot\frac{1}{1},
откуда \frac{AD}{DC}=\frac{1}{2}
.
Второй способ. По теореме синусов из треугольника BDC
получаем
DC=\frac{BC\sin\beta}{\sin(180^{\circ}-\angle CBD-\angle BCD)}=\frac{BC\sin\beta}{\sin(\angle CBD+\angle BCD)}=
=\frac{6\sin\beta}{\sin(\beta+\gamma)}=\frac{6\sin\beta}{\sin\beta\cos\gamma+\cos\beta\sin\gamma}=\frac{6}{\cos\gamma+\ctg\beta\sin\gamma}=
=\frac{6}{\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{5}}=\frac{10}{3}.
Тогда
AD=AC-DC=5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3}.
Следовательно,
\frac{AD}{DC}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{1}{2}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 1, задача 4, с. 10