1620. В квадрате ABCD
площади 1 сторона AD
продолжена за точку D
и на продолжении взята точка O
на расстоянии 3 от точки D
. Из точки O
проведены два луча. Первый луч пересекает отрезок CD
в точке M
и отрезок AB
в точке N
, причём ON=a
. Второй луч пересекает отрезок CD
в точке L
и отрезок BC
в точке K
, причём \angle BKL=\alpha
. Найдите площадь многоугольника BKLMN
.
Ответ. 1-\frac{7}{8}\sqrt{a^{2}-16}+\frac{1}{2}(1+3\tg\alpha)^{2}\ctg\alpha
.
Указание. \angle LOD=180^{\circ}-\alpha
, треугольник ODM
подобен треугольнику OAN
, а треугольник KCL
подобен треугольнику ODL
.
Решение. Коэффициент подобия треугольников ODM
и OAN
равен \frac{3}{4}
. Поэтому S_{\triangle ODM}=\frac{9}{16}S_{\triangle AON}
и
S_{ANMD}=\frac{7}{16}S_{\triangle AON}=\frac{7}{16}\cdot\frac{1}{2}AO\cdot AN=
=\frac{7}{16}\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{a^{2}-16}=\frac{7}{8}\sqrt{a^{2}-16}.
Поскольку
\angle KOD=180^{\circ}-\angle BKL=180^{\circ}-\alpha,
то
LD=OD\tg(180^{\circ}-\alpha)=-3\tg\alpha,~CL=CD-LD=1+3\tg\alpha.
Из подобия треугольников KCL
и ODL
следует, что
KC=\frac{OD\cdot CL}{LD}=-\frac{3(1+3\tg\alpha)}{3\tg\alpha}=-(\ctg\alpha+3).
Поэтому
S_{\triangle KCL}=\frac{1}{2}KC\cdot CL=-\frac{1}{2}(\ctg\alpha+3)(1+3\tg\alpha)=-\frac{(1+3\tg\alpha)^{2}}{2\tg\alpha}.
Следовательно,
S_{BKLMN}=1-\frac{7}{8}\sqrt{a^{2}-16}+\frac{1}{2}(1+3\tg\alpha)^{2}\ctg\alpha.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1970, № 2, вариант 1