16202. Сторона AE
выпуклого пятиугольника ABCDE
, вписанного в окружность единичного радиуса, проходит через центр этой окружности. Известно, что AB=a
, BC=b
, CD=c
, DE=d
и ab=cd=\frac{1}{4}
. Найдите AC+CE
.
Ответ. 16-(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})
.
Решение. Обозначим AC=x
, CE=y
, AD=p
, BE=q
.
Углы ABE
, ACE
, ADE
равны по 90^{\circ}
, поэтому
a^{2}+q^{2}=x^{2}+y^{2}=p^{2}+d^{2}=AE^{2}=4.
По теореме Птолемея из вписанного четырёхугольника ACDE
получаем
dx+2c=py~\Rightarrow~d^{2}x^{2}+4c^{2}+4cdx=p^{2}y^{2}~\Rightarrow~d^{2}x^{2}+4c^{2}+x=p^{2}y^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~x=p^{2}y^{2}-4c^{2}-d^{2}x^{2}=(4-d^{2})y^{2}-4c^{2}-d^{2}x^{2}=
=4y^{2}-4c^{2}-d^{2}(x^{2}+y^{2})=4y^{2}-4c^{2}-4d^{2}.
Аналогично из равенства
ay+2b=qx
получаем
y=4x^{2}-4a^{2}-4b^{2}.
Следовательно,
AC+CE=x+y=(4y^{2}-4c^{2}-4d^{2})+(4x^{2}-4a^{2}-4b^{2})=
=4(x^{2}+y^{2})-4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})=4\cdot4-4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})=
=16-(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}).
Источник: Турецкие математические олимпиады. — 1997
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 5, задача 4 (2001, с. 168-169), с. 288