16205. Точка M
— середина стороны AB
квадрата ABCD
, P
и Q
— точки пересечения прямой MD
и окружности с центром M
радиуса MA
. Докажите, что отношение сторон прямоугольника APBQ
равно \frac{\sqrt{5}+1}{2}
(«золотой прямоугольник»).
Решение. Четырёхугольник APBQ
— прямоугольник, так как все его углы равны 90^{\circ}
.
Пусть сторона квадрата равна 2, точка P
лежит внутри данного квадрата, а \angle AMD=\alpha
. Тогда
MB=MP=MA=1,~MD=\sqrt{5},~\cos\alpha=\frac{MA}{MD}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
По теореме косинусов
PA^{2}=MA^{2}+MP^{2}-2MA\cdot MP\cos\alpha=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}},
PB^{2}=MB^{2}+MP^{2}+2MB\cdot MP\cos\alpha=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
\left(\frac{PB}{PA}\right)^{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}=\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}}{4}.
Следовательно,
\frac{PB}{PA}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 1, задача 2813 (2003, с. 47), с. 63