16210. AD
— биссектриса треугольника ABC
; \Gamma
— окружность, касающаяся прямой BC
в точке D
и проходящая через точку A
; M
— отличная от A
точка пересечения окружности \Gamma
с прямой AC
; P
— отличная от M
точка пересечения окружности \Gamma
с прямой BM
. Докажите, что прямая AP
проходит через середину отрезка BD
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует что
\angle CDM=\angle DAM=\angle DAB=\frac{\alpha}{2}.
Кроме того,
\angle QPB=\angle APM=\angle ADM=\angle ADC-\angle CDM=
=(\angle DAB+\angle BAD)-\angle CDM=\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)-\frac{\alpha}{2}=\beta=\angle ABQ,
поэтому треугольники BPQ
и ABQ
с общим углом при вершине Q
подобны по двум углам. Значит,
\frac{BQ}{QA}=\frac{QP}{BQ}~\Rightarrow~BQ^{2}=QP\cdot QA.
С другой стороны, по теореме о касательной и секущей QD^{2}=QP\cdot QA
, поэтому QD^{2}=BQ^{2}
. Следовательно, QD=BQ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Иранские математические олимпиады. — 1998-1999
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 3, задача 5 (2001, с. 486), с. 159