16214. Точка O
расположена внутри треугольника ABC
. Прямые AO
, BO
и CO
пересекают стороны BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Точки P
и Q
лежат на отрезках BE
и CF
соответственно, причём \frac{BP}{PE}=\frac{CQ}{QF}=\frac{DO}{OA}
. Докажите, что PF\parallel QE
.
Решение. Из условия следует, что
\frac{EP}{EB}=\frac{FQ}{FC}=\frac{AO}{AD}.
Обозначим \frac{CD}{BC}=\lambda
. Тогда
\frac{BD}{BC}=1-\lambda,~\frac{CD}{DB}=\frac{\lambda}{1-\lambda}.
По теореме Менелая для треугольника COD
и прямой AB
получаем
\frac{CB}{BD}\cdot\frac{DA}{AO}\cdot\frac{OF}{FC}=1~\Rightarrow~\frac{OF}{FC}=\frac{AO}{DA}\cdot\frac{BD}{CB}=\frac{FQ}{FC}\cdot(1-\lambda)~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{OF}{FQ}=1-\lambda~\Rightarrow~\frac{OF}{OQ}=\frac{1-\lambda}{\lambda}.
По теореме Менелая для треугольника BOD
и прямой CA
получаем
\frac{BE}{EO}\cdot\frac{OA}{AD}\cdot\frac{DC}{CB}=1~\Rightarrow~\frac{EO}{BE}=\frac{OA}{AD}\cdot\frac{DC}{CB}=\frac{EP}{BE}\cdot\lambda~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{EO}{EP}=\lambda~\Rightarrow~\frac{EO}{OP}=\frac{\lambda}{1-\lambda}.
Значит, \frac{OF}{FQ}=\frac{OP}{EO}
, поэтому треугольники FOP
и QOE
подобны. Тогда \angle OFP=\angle OQE
. Следовательно, PF\parallel QE
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 5, задача 2857 (2003, с. 317), с. 311