16218. Точки D
, E
и F
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
. Известно (см. задачу 680), что описанные окружности треугольников AEF
, BFD
и CDE
пересекаются в одной точке (назовём её O
). Пусть P
— произвольная точка плоскости треугольника ABC
, а A'
, B'
и C'
— вторые точки пересечения прямых PA
, PB
и PC
с описанными окружностями треугольников AEF
, BFD
и CDE
соответственно. Докажите, что точки O
, P
, A'
, B'
и C'
лежат на одной окружности.
Решение. Рассмотрим треугольник PAB
. Описанные окружности треугольников AFA'
, BFB'
и PA'B'
пересекаются в точке O
(см. задачу 680), поэтому точки P
, A'
, B'
и O
лежат на одной окружности. Рассмотрим треугольник PBC
. Рассуждая аналогично, получим, что описанные окружности треугольников BDB'
, CDC'
и PB'C'
проходят через точку O
. Следовательно, точки O
, P
, A'
, B'
и C'
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 7, задача 2879 (2003, с. 465), с. 442