16219. Основание равнобедренного треугольника равно a
, проведённая к нему высота равна v
, а боковая сторона равна b
. Известно, что \frac{a}{2}+v\geqslant\sqrt{2}
. Найдите:
а) углы треугольника;
б) площадь треугольника, если известно, что его боковая сторона равна 8\sqrt{2}
.
Ответ. а) 45^{\circ}
, 45^{\circ}
и 90^{\circ}
.
б) 64.
Решение. а) Пусть AD=v
— высота равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC=a
и боковой стороной AB=b
. Тогда D
— середина основания BC
. Обозначим \angle ABD=\theta
. Из прямоугольного треугольника ADB
получаем
v=AB\sin\theta=b\sin\theta,~\frac{a}{2}=BD=AB\cos\theta=b\cos\theta.
По условию
\frac{a}{2}+v\geqslant b\sqrt{2}~\Rightarrow~b\cos\theta+b\sin\theta\geqslant b\sqrt{2}~\Rightarrow~\cos\theta+\sin\theta\geqslant\sqrt{2},
а так как по известному неравенству (см. задачу 5436)
\cos\theta+\sin\theta\leqslant\sqrt{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда \theta=45^{\circ}
, т. е. углы при основании равнобедренного треугольника ABC
равны по 45^{\circ}
. Тогда угол при вершине A
равен 90^{\circ}
.
б) Поскольку b=8\sqrt{2}
, то
\frac{a}{2}=b\cos\theta=8\sqrt{2}\cdot\cos45^{\circ}=8\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=8~\mbox{и}~v=b\sin\theta=8\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=8,
то
S_{\triangle ABC}=\frac{a}{2}\cdot v=8\cdot8=64.
Источник: Хорватские математические олимпиады. — 2003
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 8, задача 3, с. 456