1622. Теорема Менелая. Дан треугольник ABC
. Точки A_{1}
и C_{1}
лежат на сторонах соответственно BC
и AB
, а точка B_{1}
— на продолжении стороны AC
за точку C
. Докажите, что точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CA_{1}}{A_{1}B}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=1.
Указание. Проведите через вершину B
прямую, параллельную AC
, и рассмотрите две пары образовавшихся подобных треугольников.
Решение. Первый способ. Пусть точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
лежат на одной прямой. Через вершину B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть K
— точка её пересечения с прямой B_{1}C_{1}
. Из подобия треугольников BC_{1}K
и AC_{1}B_{1}
следует, что
BK=AB_{1}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}.
Из подобия треугольников BA_{1}K
и CA_{1}B_{1}
следует, что
BK=CB_{1}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}.
Поэтому
AB_{1}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=CB_{1}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}.
Следовательно,
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1.
Обратно, пусть точки C_{1}
и A_{1}
лежат на сторонах AB
и BC
, точка B_{1}
— на продолжении стороны AC
за точку C
и при этом
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1.
Предположим, что прямая B_{1}C_{1}
пересекает сторону BC
в некоторой точке A'
. Тогда по доказанному
\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1,
поэтому \frac{BA'}{A'C}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}
, значит, точка A'
совпадает с точкой A_{1}
. Следовательно, точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
лежат на одной прямой. Проведём произвольную прямую l
, пересекающую прямую A_{1}C_{1}
в точке L
. Через точки A
, B
и C
проведём прямые, параллельные прямой A_{1}C_{1}
. Пусть A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— точки пересечения этих прямых с прямой l
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{B_{2}L}{LC_{2}},~\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{C_{2}L}{LA_{2}},~\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{A_{2}L}{LB_{2}}.
Следовательно,
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{B_{2}L}{LC_{2}}\cdot\frac{C_{2}L}{LA_{2}}\cdot\frac{A_{2}L}{LB_{2}}=1.
Обратно, пусть точки C_{1}
и A_{1}
лежат на сторонах AB
и BC
, точка B_{1}
— на продолжении стороны AC
за точку C
и при этом
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1.
Предположим, что прямая B_{1}C_{1}
пересекает сторону BC
в некоторой точке A'
. Тогда по доказанному
\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1,
поэтому \frac{BA'}{A'C}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}
, значит, точка A'
совпадает с точкой A_{1}
. Следовательно, точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
Третий способ. Пусть точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
лежат на одной прямой, a
, b
и c
— высоты треугольников AB_{1}C_{1}
, BA_{1}C_{1}
и CA_{1}B_{1}
, проведённые из вершин A
, B
и C
соответственно. Тогда
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{b}{c},~\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{c}{a},~\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{a}{b}.
Следовательно,
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}=1.
Обратно, пусть точки C_{1}
и A_{1}
лежат на сторонах AB
и BC
, точка B_{1}
— на продолжении стороны AC
за точку C
и при этом
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1.
Предположим, что прямая B_{1}C_{1}
пересекает сторону BC
в некоторой точке A'
. Тогда по доказанному
\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1,
поэтому \frac{BA'}{A'C}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}
, значит, точка A'
совпадает с точкой A_{1}
. Следовательно, точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Пусть \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{CD}
— коллинеарные векторы. Обозначим \frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}
величину \pm\frac{AB}{CD}
, где знак плюс берётся в том случае, когда векторы \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{CD}
сонаправлены, а знак минус — в случае, когда векторы \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{CD}
противоположно направлены. Эту величину будем называть ориентированным отношением отрезков AB
и CD
.
Теорему Менелая тогда можно сформулировать так. Дан треугольник ABC
. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
лежат на сторонах соответственно BC
, AC
и AB
(или на их продолжениях). Докажите, что точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
\frac{\overrightarrow{AB_{1}}}{\overrightarrow{B_{1}C}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_{1}}}{\overrightarrow{A_{1}B}}\cdot\frac{\overrightarrow{BC_{1}}}{\overrightarrow{C_{1}A}}=-1.
2. См. также статью Б.Эрдниева и Н.Манцаева: «Теоремы Чевы и Менелая», Квант, 1990, N3, с.56-59.
3. См. также статью Б.Орача: «Теорема Менелая», Квант, 1991, N3, с.52-55.
4. См. также статью А.Егорова «Теоремы Чевы и Менелая», Квант, 2004, N3, с.35-38.