1622. Теорема Менелая. Дан треугольник
ABC
. Точки
A_{1}
и
C_{1}
лежат на сторонах соответственно
BC
и
AB
, а точка
B_{1}
— на продолжении стороны
AC
за точку
C
. Докажите, что точки
A_{1}
,
B_{1}
и
C_{1}
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CA_{1}}{A_{1}B}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=1.

Указание. Проведите через вершину
B
прямую, параллельную
AC
, и рассмотрите две пары образовавшихся подобных треугольников.
Решение. Первый способ. Пусть точки
C_{1}
,
A_{1}
и
B_{1}
лежат на одной прямой. Через вершину
B
проведём прямую, параллельную
AC
. Пусть
K
— точка её пересечения с прямой
B_{1}C_{1}
. Из подобия треугольников
BC_{1}K
и
AC_{1}B_{1}
следует, что
BK=AB_{1}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}.

Из подобия треугольников
BA_{1}K
и
CA_{1}B_{1}
следует, что
BK=CB_{1}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}.

Поэтому
AB_{1}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=CB_{1}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}.

Следовательно,
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1.

Обратно, пусть точки
C_{1}
и
A_{1}
лежат на сторонах
AB
и
BC
, точка
B_{1}
— на продолжении стороны
AC
за точку
C
и при этом
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1.

Предположим, что прямая
B_{1}C_{1}
пересекает сторону
BC
в некоторой точке
A'
. Тогда по доказанному
\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1,

поэтому
\frac{BA'}{A'C}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}
, значит, точка
A'
совпадает с точкой
A_{1}
. Следовательно, точки
C_{1}
,
A_{1}
и
B_{1}
лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть точки
C_{1}
,
A_{1}
и
B_{1}
лежат на одной прямой. Проведём произвольную прямую
l
, пересекающую прямую
A_{1}C_{1}
в точке
L
. Через точки
A
,
B
и
C
проведём прямые, параллельные прямой
A_{1}C_{1}
. Пусть
A_{2}
,
B_{2}
,
C_{2}
— точки пересечения этих прямых с прямой
l
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{B_{2}L}{LC_{2}},~\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{C_{2}L}{LA_{2}},~\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{A_{2}L}{LB_{2}}.

Следовательно,
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{B_{2}L}{LC_{2}}\cdot\frac{C_{2}L}{LA_{2}}\cdot\frac{A_{2}L}{LB_{2}}=1.

Обратно, пусть точки
C_{1}
и
A_{1}
лежат на сторонах
AB
и
BC
, точка
B_{1}
— на продолжении стороны
AC
за точку
C
и при этом
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1.

Предположим, что прямая
B_{1}C_{1}
пересекает сторону
BC
в некоторой точке
A'
. Тогда по доказанному
\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1,

поэтому
\frac{BA'}{A'C}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}
, значит, точка
A'
совпадает с точкой
A_{1}
. Следовательно, точки
C_{1}
,
A_{1}
и
B_{1}
лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
Третий способ. Пусть точки
C_{1}
,
A_{1}
и
B_{1}
лежат на одной прямой,
a
,
b
и
c
— высоты треугольников
AB_{1}C_{1}
,
BA_{1}C_{1}
и
CA_{1}B_{1}
, проведённые из вершин
A
,
B
и
C
соответственно. Тогда
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{b}{c},~\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{c}{a},~\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{a}{b}.

Следовательно,
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}=1.

Обратно, пусть точки
C_{1}
и
A_{1}
лежат на сторонах
AB
и
BC
, точка
B_{1}
— на продолжении стороны
AC
за точку
C
и при этом
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1.

Предположим, что прямая
B_{1}C_{1}
пересекает сторону
BC
в некоторой точке
A'
. Тогда по доказанному
\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1,

поэтому
\frac{BA'}{A'C}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}
, значит, точка
A'
совпадает с точкой
A_{1}
. Следовательно, точки
C_{1}
,
A_{1}
и
B_{1}
лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.



Примечание. 1. Пусть
\overrightarrow{AB}
и
\overrightarrow{CD}
— коллинеарные векторы. Обозначим
\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}
величину
\pm\frac{AB}{CD}
, где знак плюс берётся в том случае, когда векторы
\overrightarrow{AB}
и
\overrightarrow{CD}
сонаправлены, а знак минус — в случае, когда векторы
\overrightarrow{AB}
и
\overrightarrow{CD}
противоположно направлены. Эту величину будем называть ориентированным отношением отрезков
AB
и
CD
.
Теорему Менелая тогда можно сформулировать так. Дан треугольник
ABC
. Точки
A_{1}
,
B_{1}
,
C_{1}
лежат на сторонах соответственно
BC
,
AC
и
AB
(или на их продолжениях). Докажите, что точки
A_{1}
,
B_{1}
и
C_{1}
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
\frac{\overrightarrow{AB_{1}}}{\overrightarrow{B_{1}C}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_{1}}}{\overrightarrow{A_{1}B}}\cdot\frac{\overrightarrow{BC_{1}}}{\overrightarrow{C_{1}A}}=-1.

2. См. также статью Б.Эрдниева и Н.Манцаева: «Теоремы Чевы и Менелая», Квант, 1990, N3, с.56-59.
3. См. также статью Б.Орача: «Теорема Менелая», Квант, 1991, N3, с.52-55.
4. См. также статью А.Егорова «Теоремы Чевы и Менелая», Квант, 2004, N3, с.35-38.