16226. Дан треугольник ABC
, в котором \angle ABC=2\angle ACB
. Точка D
лежит на луче CB
, причём \angle ADC=\frac{1}{2}\angle BAC
. Докажите, что
\frac{1}{CD}=\frac{1}{AB}-\frac{1}{AC}.
Решение. Пусть \angle ACB=2\gamma
. Тогда
\angle ABC=2\gamma,~\angle BAC=180^{\circ}-6\gamma,~\angle ADC=90^{\circ}-3\gamma,
а так как ABC
— внешний угол треугольника ABD
, то
\angle DAB=\angle ABC-\angle ADC=4\gamma-(90^{\circ}-3\gamma)=7\gamma-90^{\circ}.
Тогда
\angle DAC=\angle DAB+\angle BAC=(7\gamma-90^{\circ})+(180^{\circ}-6\gamma)=\gamma+90^{\circ}.
По теореме синусов из треугольника ACD
получаем
CD=\frac{AC\sin\angle DAC}{\sin\angle ADC}=\frac{AC\sin(90^{\circ}+\gamma)}{\sin(90^{\circ}-3\gamma)}=\frac{AC\cos\gamma}{\cos3\gamma}.
Значит,
\frac{1}{CD}+\frac{1}{AC}=\frac{\cos3\gamma}{AC\cos\gamma}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AC}\left(\frac{\cos3\gamma}{\cos\gamma}+1\right)=\frac{\cos3\gamma+\cos\gamma}{AC\cos\gamma}=
=\frac{2\cos2\gamma\cos\gamma}{AC\cos\gamma}=\frac{2\cos2\gamma}{AC},
а так как по теореме синусов
\frac{AB}{AC}=\frac{\sin2\gamma}{\sin4\gamma}=\frac{\sin2\gamma}{2\sin2\gamma\cos2\gamma}=\frac{1}{\cos2\gamma}~\Rightarrow~\frac{1}{AC}=\frac{AB}{2\cos2\gamma},
то
\frac{1}{CD}+\frac{1}{AC}=\frac{2\cos2\gamma}{AC}=\frac{1}{AB}.
Следовательно,
\frac{1}{CD}=\frac{1}{AB}-\frac{1}{AC}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2005, № 4, задача 2942 (2004, с. 229, 232), с. 246