1623. Точки A_{1}
и B_{1}
делят стороны BC
и AC
треугольника ABC
в отношениях: BA_{1}:A_{1}C=1:p
и AB_{1}:B_{1}C=1:q
. В каком отношении отрезок AA_{1}
делится отрезком BB_{1}
?
Ответ. \frac{p+1}{q}
.
Указание. Продолжите BB_{1}
до пересечения с прямой, проходящей через вершину A
параллельно BC
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения отрезков AA_{1}
и BB_{1}
. Проведём через вершину A
прямую, параллельную BC
, и продолжим BB_{1}
до пересечения с этой прямой в точке K
. Из подобия треугольников AB_{1}K
и CB_{1}B
следует, что
AK=BC\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=\frac{1}{q}\cdot BC,
а из подобия треугольников AMK
и A_{1}MB
—
\frac{AM}{MA_{1}}=\frac{AK}{A_{1}B}=\frac{\frac{1}{q}BC}{\frac{1}{p+1}BC}=\frac{p+1}{q}.