16231. Точка C
лежит внутри угла, равного 60^{\circ}
. Расстояния от неё до сторон угла равны 2 и 3. Найдите расстояние от точки C
до вершины угла.
Ответ. 2\sqrt{\frac{19}{3}}
.
Решение. Пусть O
— вершина угла, A
и B
— проекции точки C
на стороны угла, CA=2
и CB=3
.
Продолжим отрезок BC
до пересечения с прямой OA
в точке D
. Тогда
\angle BOD=30^{\circ}~\Rightarrow~CD=2AC=4~\Rightarrow~BD=BC+CD=3+4=7~\Rightarrow
\Rightarrow~OB=\frac{BD}{\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}~\Rightarrow~OC=\sqrt{OB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{\frac{49}{3}+9}=\sqrt{\frac{76}{3}}=2\sqrt{\frac{19}{3}}.
Источник: Канадские математические олимпиады. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2005, № 7, с. 382