16235. В треугольник ABC
вписана окружность с центром I
. Докажите, что если один из треугольников, на которые отрезки AI
, BI
и CI
разбивают треугольник ABC
, подобен треугольнику ABC
, то углы треугольника ABC
образуют геометрическую прогрессию.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Без ограничения общности будем считать, что что исходному треугольнику подобен треугольник с вершинами B
, I
, C
(в некотором порядке).
Углы при его вершинах B
, C
и I
равны \frac{\beta}{2}
, \frac{\gamma}{2}
и 90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
Если 90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}=\alpha
, то \alpha=180^{\circ}
, что невозможно.
Если \alpha=\frac{\beta}{2}
, \beta=\frac{\gamma}{2}
и \gamma=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
, то
90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}=\gamma=2\beta=4\alpha,
откуда
\alpha=\frac{180^{\circ}}{7},~\gamma=\alpha+\frac{90^{\circ}}{7}=\frac{720^{\circ}}{7},~\beta=\frac{\gamma}{2}=\frac{360^{\circ}}{7}.
Следовательно, \alpha
, \beta
и \gamma
образуют геометрическую прогрессию.
Если \alpha=\frac{\gamma}{2}
, \beta=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
и \gamma=\frac{\beta}{2}
, то аналогично,
\alpha=\frac{180^{\circ}}{7},~\beta=90^{\circ}+\frac{90^{\circ}}{7}=\frac{720^{\circ}}{7},~\gamma=\frac{\beta}{2}=\frac{360^{\circ}}{7}.
Следовательно, \beta
, \alpha
и \gamma
образуют геометрическую прогрессию.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2006, № 1, задача M172, с. 20