16243. Вне квадрата QRST
со стороной 1 построен равносторонний треугольник PST
. Найдите радиус описанной окружности треугольника PQR
.
Ответ. 1.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр описанной окружности радиуса r
треугольника PQR
, а N
— точка пересечения продолжения высоты PM
равностороннего треугольника PCT
со стороной QR
данного квадрата. Тогда M
и N
— середины сторон квадрата.
Из прямоугольного треугольника ONQ
получаем
ON=\sqrt{OQ^{2}-NQ^{2}}=\sqrt{r^{2}-\frac{1}{4}},
а так как PM=\frac{\sqrt{3}}{2}
, то
OM=OP-PM=r-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Поскольку MN=OM+ON
и MN=TQ=1
, получаем
1=r-\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{r^{2}-\frac{1}{4}}~\Rightarrow~\sqrt{r^{2}-\frac{1}{4}}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}-r~\Rightarrow
\Rightarrow~r^{2}-\frac{1}{4}=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-r(2+\sqrt{3})+r^{2}~\Rightarrow~r(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}.
Следовательно, r=1
.
Второй способ. Построим равносторонний треугольник RXQ
с вершиной X
внутри данного квадрата. Тогда PXQT
— параллелограмм (даже ромб). Значит,
XP=QT=QR=XQ=XR=1,
Следовательно, X
— центр описанной окружности треугольника PQR
, а радиус окружности равен 1.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 1, задача M229, с. 12