16247. Дан треугольник ABC
с острыми углами при вершинах B
и C
; AH=h_{a}
— высота треугольника, а углы, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Докажите, что величина \frac{1}{h_{a}^{2}}-\left(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right)
положительна, отрицательна или равна 0
в зависимости от того, угол при вершине A
тупой, острый или прямой соответственно.
Решение. Из прямоугольного треугольника AHB
и получаем, что
h_{a}=AH=AB\sin\beta=c\sin\beta,
а по теореме синусов из треугольника ABC
—
b=AC=\frac{AB\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{c\sin\beta}{\sin\gamma}.
Тогда
S=\frac{1}{h_{a}^{2}}-\left(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right)=\frac{1}{h_{a}^{2}}-\left(\frac{\sin^{2}\gamma}{c^{2}\sin^{2}\beta}+\frac{1}{c^{2}}\right)=\frac{1}{c^{2}\sin^{2}\beta}-\left(\frac{\sin^{2}\gamma}{c^{2}\sin^{2}\beta}+\frac{1}{c^{2}}\right)=
=\frac{1}{c^{2}\sin^{2}\beta}\left(1-\sin^{2}\gamma-\sin^{2}\beta\right)=\frac{1}{c^{2}\sin^{2}\beta}\left(\cos^{2}\gamma-\sin^{2}\beta\right)=
=\frac{1}{2c^{2}\sin^{2}\beta}\left(1+\cos2\gamma-1+\cos2\beta\right)=\frac{1}{2c^{2}\sin^{2}\beta}\left(\cos2\gamma+\cos2\beta\right)=
=\frac{\cos(\beta+\gamma)\cos(\beta-\gamma)}{c^{2}\sin^{2}\beta}=\frac{\cos(180^{\circ}-\alpha)\cos(\beta-\gamma)}{c^{2}\sin^{2}\beta}=
=-\frac{\cos\alpha\cos(\beta-\gamma)}{c^{2}\sin^{2}\beta}=-\frac{\cos(\beta-\gamma)}{c^{2}\sin^{2}\beta}\cdot\cos\alpha.
Поскольку
\beta\lt90^{\circ}~\mbox{и}~\gamma\lt90^{\circ},
то
-90^{\circ}\lt\beta-\gamma\lt90^{\circ}~\Rightarrow~\cos(\beta-\gamma)\gt0~\Rightarrow~-\frac{\cos(\beta-\gamma)}{c^{2}\sin^{2}\beta}\lt0.
Следовательно,
если \alpha\gt90^{\circ}
, то S\gt0
;
если \alpha\lt90^{\circ}
, то S\lt0
;
если \alpha=90^{\circ}
, то S=0
.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 1, задача 3109, (2006, с. 46, 48), с. 59