16251. Дан ромб ABCD
с острым углом при вершине A
. Его диагонали AC
и BD
пересекаются в точке M
. На отрезке MC
отмечена отличная от M
точка O
, для которой OB\lt OC
. Окружность с центром O
проходит через точки B
и D
, пересекает прямую AB
в точках B
и X
(если эти точки совпадают, то AB
— касательная к окружности), а прямую BC
— в точках B
и Y
. Прямые DX
и DY
пересекают диагональ AC
в точках P
и Q
соответственно. Найдите отношение \frac{OQ}{OP}
, если известно, что \frac{MA}{MO}=t
.
Ответ. \frac{t+1}{t-1}
.
Решение. Четырёхугольник DXBY
вписанный, поэтому
\angle AXD=\angle BYD=\angle BOA=\angle BOP.
Значит, четырёхугольник BOPX
тоже вписанный.
При инверсии относительно окружности с центром O
и радиусом R=OB=OD
точки B
и X
остаются на месте, описанная окружность четырёхугольника BOPX
, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую BX
, т. е. в прямую AB
, а прямая AC
, проходящая через центр инверсии, переходит в себя. Значит, точка P
переходит в A
. Тогда
OP\cdot OA=R^{2}=OB^{2}.
Аналогично получим, что
OQ\cdot OC=R^{2}=OB^{2}.
Следовательно,
OP\cdot OA=OQ\cdot OC~\Rightarrow~\frac{OQ}{OP}=\frac{OA}{OC}=\frac{MA+MO}{MC-MO}=
=\frac{MA+MO}{MA-MO}=\frac{\frac{MA}{MO}+1}{\frac{MA}{MO}-1}=\frac{t+1}{t-1}.
Источник: Корейские математические олимпиады. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 3, задача 2, (2006, с. 86-87), с. 155