16256. Вершины D
и E
прямоугольника DFKE
лежат на сторонах соответственно AB
и CA
треугольника ABC
, а вершины F
и K
— на стороне BC
. Площади треугольника ABC
и прямоугольника DFKE
относятся как 32:7
. Найдите отношение AD:DB
.
Ответ. \frac{1}{7}
или 7
.
Решение. Пусть высота AH
треугольника ABC
пересекает отрезок DE
в точке L
. Тогда
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{DFKE}}=\frac{32}{7}~\Rightarrow~\frac{1}{2}AH\cdot BC=\frac{32}{7}DE\cdot LH~\Rightarrow~\frac{AH}{LH}=\frac{64}{7}\cdot\frac{DE}{BC}.
Из подобия треугольников ABC
и ADE
получаем \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}
, а из параллельности DE
и FK
— \frac{AH}{LH}=\frac{AD}{DB}
. Значит,
\frac{AD}{DB}=\frac{AH}{LH}=\frac{64}{7}\cdot\frac{AD}{AB}~\Rightarrow~\frac{AB^{2}}{DB^{2}}=\frac{64}{7}\cdot\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AD}{AB}=\frac{64}{7}\cdot\frac{AD}{AB}~\Rightarrow
\Rightarrow~\left(\frac{AD+DB}{DB}\right)^{2}=\frac{64}{7}\cdot\frac{AD}{DB}~\Rightarrow~\left(\frac{AD}{DB}+1\right)^{2}=\frac{64}{7}\cdot\frac{AD}{DB}~\Rightarrow
\Rightarrow~\left(\frac{AD}{DB}\right)^{2}-\frac{50}{7}\cdot\frac{AD}{DB}+1=0,
откуда \frac{AD}{DB}=\frac{1}{7}
или \frac{AD}{DB}=7
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 7 задача M265, с. 401