16258. Точки E
и F
лежат на сторонах BC
и CD
прямоугольника ABCD
, причём CF=FE=ED
. Точки G
и H
лежат на стороне BC
, причём BG=GH=HC
. Отрезки AE
и DG
пересекаются в точке K
, а отрезки AF
и DH
— в точке N
. Докажите, что KN\parallel AB
.
Решение. Докажем следующее, более общее утверждение.
Точки E
и F
лежат на сторонах BC
и CD
параллелограмма ABCD
, причём CF=FE=ED
. Точки G
и H
лежат на стороне BC
, причём BG=GH=HC
. Отрезки AE
и DG
пересекаются в точке K
, а отрезки AF
и DH
— в точке N
. Докажите, что KN\parallel AB
.
Пусть CD=AB=6a
и BC=DA=6b
, а прямые DG
и DH
пересекают прямую AB
в точках P
и Q
соответственно.
Треугольник BGP
подобен треугольнику CGD
с коэффициентом \frac{BG}{GC}=\frac{1}{2}
, поэтому
BP=\frac{1}{2}CD=3a.
Тогда
AP=AB+BP=6a+3a=9a.
Треугольник EKD
подобен треугольнику AKP
с коэффициентом
\frac{ED}{AP}=\frac{2a}{9a}=\frac{9}{2},
поэтому \frac{EK}{KA}=\frac{2}{9}
.
Треугольник BHQ
подобен треугольнику CHD
с коэффициентом \frac{BH}{HC}=2
, поэтому
BQ=2CD=9a.
Тогда
AQ=AB+BQ=6a+12=18a.
Треугольник FND
подобен треугольнику ANQ
с коэффициентом
\frac{FD}{AQ}=\frac{4a}{18a}=\frac{2}{9},
поэтому
\frac{FN}{NA}=\frac{9}{2}=\frac{EK}{KA}.
Следовательно, KN\parallel EF\parallel AB
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 1, задача M276, с. 10