16260. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
. Прямые AP
, BP
и CP
пересекают стороны треугольника в точках A'
, B'
и C'
соответственно. Пусть x=\frac{AP}{PA'}
, y=\frac{BP}{PB'}
и z=\frac{CP}{PC'}
. Докажите, что
xyz=x+y+z+2.
Решение. Заметим, что
\frac{PA}{PA'}=\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle PA'B}}=\frac{S_{\triangle PAC}}{S_{\triangle PA'C}}=\frac{S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PAC}}{S_{\triangle PA'B}+S_{\triangle PA'C}}=\frac{S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PAC}}{S_{\triangle PBC}}.
Аналогично,
\frac{PB}{PB'}=\frac{S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle PAC}},~\frac{PC}{PC'}=\frac{S_{\triangle PAC}+S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle PAB}}.
Обозначим, S_{\triangle PBC}=S_{a}
, S_{\triangle PCA}=S_{b}
и S_{\triangle PAB}=S_{c}
. Тогда
x=\frac{PA}{PA'}=\frac{S_{c}+S_{b}}{S_{a}},~y=\frac{PB}{PB'}=\frac{S_{c}+S_{a}}{S_{b}},~z=\frac{PC}{PC'}=\frac{S_{b}+S_{a}}{S_{c}}.
Значит,
xyz=\frac{S_{c}+S_{b}}{S_{a}}\cdot\frac{S_{c}+S_{a}}{S_{b}}\cdot\frac{S_{b}+S_{a}}{S_{c}}=
=\frac{2S_{a}S_{b}S_{c}+S_{a}^{2}S_{c}+S_{c}^{2}S_{a}+S_{c}^{2}S_{b}+S_{b}^{2}S_{c}+S_{b}^{2}S_{a}+S_{a}^{2}S_{b}}{S_{a}S_{b}S_{c}}=
=2+\frac{S_{a}+S_{c}}{S_{b}}+\frac{S_{c}+S_{b}}{S_{a}}+\frac{S_{b}+S_{a}}{S_{c}}=2+x+y+z.
Что и требовалось доказать.
Источник: Итальянские математические олимпиады. — 2004
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 2, задача 6 (2007, с. 149-150), с. 84