16261. Дан треугольник ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
, AB=c
и высотой AH
, причём a\geqslant b\geqslant c
. Пусть BH=m
и CH=n
. Докажите, что a(bm+cn)-bc(b+c)
положительно, отрицательно или равно 0 в зависимости от того, угол BAC
тупой, острый или прямой.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда
m=c\cos\beta~n=b\cos\gamma~\Rightarrow~a(bm+cn)=abc(\cos\beta+\cos\gamma).
Применив теорему косинусов, получим
a(bm+cn)-bc(b+c)=abc(\cos\beta+\cos\gamma)-bc(b+c)=
=b\cdot ac\cos\beta+c\cdot ab\cos\gamma-bc(b+c)=
=b\cdot\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}+c\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}-\frac{2bc}{2(b+c)}=
=\frac{a^{2}b-bc^{2}-b^{3}+a^{2}c-b^{2}c-c^{3}}{2}=\frac{a^{2}(b+c)-c^{2}(b+c)-b^{2}(b+c)}{2}=
=\frac{b+c}{2}\cdot(a^{2}-b^{2}-c^{2})=-bc(b+c)\cos\alpha.
Следовательно:
если \alpha\gt90^{\circ}
, то \cos\alpha\lt0
, поэтому
-bc(b+c)\cos\alpha\gt0;
если \alpha\lt90^{\circ}
, то \cos\alpha\gt0
, поэтому
-bc(b+c)\cos\alpha\lt0;
если \alpha=90^{\circ}
, то \cos\alpha=0
, поэтому
-bc(b+c)\cos\alpha=0.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 2, задача 3221 (2007, с. 111-114), с. 118