16263. Точки D
и E
лежат на сторонах соответственно AC
и AB
треугольника ABC
. Найдите отношение площадей треугольников ABC
и PBC
, если AE:BE=r
и AD:CD=s
.
Ответ. r+s+1
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через вершину C
параллельно стороне AB
, пересекает прямую BD
в точке T
. Из подобия треугольников CDT
и ADB
получаем
CT=\frac{CD}{AD}\cdot AB=\frac{1}{s}\cdot AB,
а так как
BE=AB\cdot\frac{BE}{AB}=\frac{1}{r+1}\cdot AB,
то из подобия треугольников CPT
и EPB
получаем
\frac{CP}{PE}=\frac{CT}{BE}=\frac{\frac{1}{s}\cdot AB}{\frac{1}{r+1}\cdot AB}=\frac{r+1}{s}.
Значит,
\frac{CP}{CE}=\frac{r+1}{r+1+s}.
Тогда
S_{\triangle PBC}=\frac{CP}{CE}\cdot S_{\triangle BCE}=\frac{CP}{CE}\cdot\frac{BE}{AB}\cdot S_{\triangle ABC}=
=\frac{r+1}{r+1+s}\cdot\frac{1}{r+1}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{r+1+s}\cdot S_{\triangle ABC}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle PBC}}=r+s+1.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 4, задача M300, с. 207