16264. Углы при основании BC
равнобедренного треугольника ABC
равны 40^{\circ}
. Точка P
расположена внутри треугольника, причём \angle PBC=20^{\circ}
и \angle PCB=30^{\circ}
. Докажите, что BH=BA
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что AB=AC=1
. Поскольку треугольник ABC
равнобедренный,
BC=2AC\cos\angle ACB=2\cos40^{\circ}.
Кроме того,
\angle BPC=180^{\circ}-\angle PBC-\angle PCB=180^{\circ}-20^{\circ}-30^{\circ}=130^{\circ}.
По теореме синусов из треугольника BPC
получаем
\frac{BP}{\sin30^{\circ}}=\frac{BC}{\sin130^{\circ}}~\Leftrightarrow~2BP=\frac{2\cos40^{\circ}}{\sin130^{\circ}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~BP=\frac{\cos40^{\circ}}{\sin130^{\circ}}=\frac{\cos40^{\circ}}{\sin(90^{\circ}+40^{\circ})}=\frac{\cos40^{\circ}}{\cos40^{\circ}}=1.
Следовательно, BP=BA
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 5, задача M302, с. 269