16268. Внутри треугольника ABC
отметили точку M
, для которой CM=AB
. Оказалось, что углы ACM
и CAM
соответственно равны 10^{\circ}
и 50^{\circ}
, а угол BCM
равен 40^{\circ}
. Найдите угол BAM
.
Ответ. 20^{\circ}
.
Решение. Продолжим отрезок AM
до пересечения со стороной BC
в точке K
. На отрезке CK
отметим точку E
, для которой угол CAE
равен 10^{\circ}
. Тогда треугольники AEC
и CMA
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, AE=CM=AB
.
По теореме о внешнем угле треугольника находим, что
\angle AEB=50^{\circ}+10^{\circ}=60^{\circ},
поэтому равнобедренный треугольник ABE
— равносторонний, и все его углы равны по 60^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAM=\angle BAE-\angle KAE=60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2024, 7 класс