1627. На основании AD
трапеции ABCD
взята точка E
, причём AE=BC
. Отрезки CA
и CE
пересекают диагональ BD
в точках O
и P
соответственно. Докажите, что если BO=PD
, то AD^{2}=BC^{2}+AD\cdot BC
.
Указание. Докажите, что \frac{DP}{BP}=\frac{BO}{OD}
.
Решение. Обозначим BC=x
, AD:BC=k
. Тогда
AD=kx,~DE=AD-AE=AD-BC=(k-1)x.
Поскольку BO=DP
, то DO=BP
. Поэтому
\frac{DE}{BC}=\frac{DP}{BP}=\frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{k}.
Следовательно, DE=\frac{1}{k}BC
. Поэтому
k-1=\frac{1}{k},~\mbox{или}~k^{2}=k+1.
Умножив обе части этого равенства на x^{2}
, получим, что
x^{2}k^{2}=kx\cdot x+x^{2},~\mbox{или}~AD^{2}=AD\cdot BC+BC^{2}.