16270. Положительные числа x
, y
и z
удовлетворяют условию x^{2}+y^{2}=z^{2}
. Пусть AC=z
, а точки B
и M
таковы, что BC=x
, 90^{\circ}\lt\angle ABC\lt180^{\circ}
и \angle MAB=\angle MBC
. Точка D
лежит на продолжении отрезка BM
за точку M
, причём \angle ADM=\angle DCM
. Докажите, что \angle ADM=\angle DCM
.
Решение. Треугольники CAB
и CBM
с общим углом при вершине C
подобны по двум углам, поэтому
\frac{MC}{BC}=\frac{CB}{CA}~\Rightarrow~\frac{MC}{x}=\frac{x}{z}~\Rightarrow~MC=\frac{x^{2}}{z}.
Тогда
AM=AC-MC=z-\frac{x^{2}}{x}=\frac{z^{2}-x^{2}}{z}=\frac{y^{2}}{z},
откуда
\frac{y}{z}=\frac{AM}{y},~\mbox{или}~\frac{AD}{AC}=\frac{AM}{AD}.
Значит, треугольники AMD
и ADC
с общим углом при вершине D
подобны. Следовательно,
\angle ADM=\angle ACD=\angle DCM.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 7, задача 3284 (2007, с. 429, 432), с. 443