16271. На сторонах AB
и CD
прямоугольника ABCD
, в котором AD\lt AB
, отмечены такие точки F
и E
соответственно, что AFCE
— ромб.
а) Найдите EF
, если AB=16
и BC=12
.
б) Найдите EF
, если AB=x
и BC=y
.
Ответ. а) 15; б) \frac{y\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}
.
Решение. б) Пусть O
— середина AC
. Тогда O
— общий центр прямоугольника ABCD
и ромба AFCE
. Обозначим AF=FC=CE=EA=m
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников CBF
и COE
получаем
CF^{2}-BF^{2}=BC^{2}~\Leftrightarrow~m^{2}-(x-m)^{2}=y^{2}~\Leftrightarrow~m=\frac{x^{2}+y^{2}}{2x};
OE^{2}=CE^{2}-OC^{2}=m^{2}-\left(\frac{AC}{2}\right)^{2}=\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2x}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}\right)^{2}=
=\frac{x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}}{4x^{2}}-\frac{x^{2}+y^{2}}{4}=\frac{y^{4}+x^{2}y^{2}}{4x^{2}}.
Следовательно,
EF=2OE=\frac{2y\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2x}=\frac{y\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}.
а) Если x=16
и y=12
, то
EF=\frac{12\sqrt{16^{2}+12^{2}}}{16}=\frac{12\cdot4\sqrt{16+9}}{16}=3\cdot5=15.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 8, задача M337, с. 445