16274. Дана трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
. Точка E
лежит на основании AB
, причём EC\parallel AD
. Пусть площадь треугольника, образованного пересечениями прямых AC
, BD
и DE
равна s
, а площадь треугольника ABC
равна S
. Найдите отношение \frac{AB}{CD}
, при котором отношение \frac{s}{S}
максимально.
Ответ. \frac{AB}{CD}=1+\sqrt{2}
Решение. Обозначим AB=a
, CD=b
. Пусть M
и N
— точки пересечения диагонали AC
с диагональю BD
и отрезком DE
соответственно. Диагонали параллелограмма AECD
делятся точкой N
пополам, а треугольник MCD
подобен треугольнику MAB
с коэффициентом \frac{CD}{AB}=\frac{b}{a}
. Тогда
\frac{b}{a}=\frac{CM}{MA}=\frac{CN-MN}{AN+MN}=\frac{\frac{1}{2}AC-MN}{\frac{1}{2}AC+MN}=\frac{AC-2MN}{AC+2MN},
откуда
\frac{MN}{AC}=\frac{a-b}{2(a+b)}.
Пусть высоты треугольников DMN
и ABC
, опущенные из вершин D
и B
, равны h_{1}
и h_{2}
соответственно. Тогда из подобия прямоугольных треугольников с равными острыми вершинами при общей вершине M
получаем
\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{DM}{MB}=\frac{b}{a}.
Значит,
\frac{s}{S}=\frac{\frac{1}{2}MN\cdot h_{1}}{\frac{1}{2}AC\cdot h_{2}}=\frac{a-b}{2(a+b)}\cdot\frac{b}{a}=\frac{\frac{a}{b}-1}{2\cdot\frac{a}{b}\left(\frac{a}{b}+1\right)}.
Обозначим \frac{a}{b}=x
, и найдём x
для которого функция f(x)=\frac{x-1}{x(x+1)}
принимает наибольшее значение на луче x\gt0
.
Поскольку f'(x)=\frac{-x^{2}+2x+1}{x^{2}(x+1)^{2}}
находим, что x=1+\sqrt{2}
. Следовательно, отношение \frac{s}{S}
максимально, когда \frac{AB}{CD}=1+\sqrt{2}
.
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 2004-2005
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 2, задача 1 (2008, с. 147), с. 88