16275. На каждой из сторон треугольника отметили по одной точке. Докажите что, если стороны прямоугольника равны 3 и 4, то сумма квадратов сторон четырёхугольника с вершинами в отмеченных точках удовлетворяет неравенству
25\leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\leqslant50.
Решение. Обозначим расстояния от вершин данного прямоугольника до отмеченных точек (при обходе прямоугольника против часовой стрелки) через a
, b
c
и d
(см. рис.). Тогда
x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}=(4-a)^{2}+b^{2}+(3-b)^{2}+c^{2}+(4-c)^{2}+d^{2}+(3-d)^{2}+a^{2}.
Заметим, что
(4-a)^{2}+a^{2}=2a^{2}-8a+16=2(a-2)^{2}+8,
(3-b)^{2}+b^{2}=2b^{2}-6b+9=2\left(b-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{9}{2}.
Аналогично,
(4-c)^{2}=2(c-2)^{2}+8~\mbox{и}~(3-d)^{2}=2\left(d-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{9}{2}.
Следовательно,
x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}=2(a-2)^{2}+2\left(b-\frac{3}{2}\right)^{2}+2(c-2)^{2}+2\left(b-\frac{3}{2}\right)^{2}+25\geqslant25.
В то же время,
0\leqslant a\leqslant4~\Rightarrow~0\leqslant(a-2)^{2}\leqslant4
и, аналогично,
0\leqslant(c-2)^{2}\leqslant4,~0\leqslant\left(b-\frac{3}{2}\right)^{2}\leqslant\frac{9}{4},~0\leqslant\left(d-\frac{3}{2}\right)^{2}\leqslant\frac{9}{4}.
Следовательно,
x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}=
=2(a-2)^{2}+2\left(b-\frac{3}{2}\right)^{2}+2(c-2)^{2}+2\left(b-\frac{3}{2}\right)^{2}+25\leqslant
\leqslant8+\frac{9}{2}+8+\frac{9}{2}+25=50.
Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2008
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 3, задача 17 (2008, с. 211-213), с. 157